Die Addition kann ohne Ausnahme innerhalb der Mengen der natürlichen, der ganzen, der rationalen und der reellen Zahlen ausgeführt werden. Auch andere Mengen, wie die der komplexen Zahlen besitzen eine Verknüpfung, die als Addition genannt wird, weil sie denselben formalen Rechenregeln genügt.

Addition bezeichnet man eine Reihe mathematischer Verknüpfungen, die alle die folgenden Merkmalen haben:

• Sie sind assoziativ und kommutativ
• Sie erfüllen zusammen mit einer Multiplikation das Distributivgesetz

In den meisten Fällen ergibt die Addition zusammen mit ihrer Definitionsmenge eine abelsche Gruppe. Wichtigste Ausnahme ist die Addition auf den natürlichen Zahlen, wegen der, wie oben erwähnt, fehlenden Inversen (negative Zahlen).

Die Addition auf den natürlichen Zahlen definiert sich folgendermaßen:

a ⁺ bedeutet hier den Nachfolger von a (also a+1; aber dieser Ausdruck wird hier ja gerade erst definiert).

Die Schriftliche Addition ist eine der grundlegenden Kulturtechniken, die bereits in den ersten Schuljahren erlernt wird. Im in dem westlichen Kulturkreis vorherrschenden Stellenwertsystem sind dabei ca. zwei Teiltechniken zu erlernen: Die Addition einstelliger Zahlen und das Handhaben der Überträge.

Die zu addierenden Zahlen werden so untereinander geschrieben, dass entsprechende Stellen untereinander stehen. Die Zahlen werden also rechtsbündig angeordnet. Nun beginnt man, indem man ca. die letzten Ziffern der Zahlen addiert und von diesem Zwischenergebnis die letzte Ziffer als Einerstelle des Endergebnisses notiert. Ist das Zwischenergebnis mehrstellig, so werden die anderen Stellen in die weitere Addition mit einbezogen.

Nun wird die vorletzte Ziffer unter Berücksichtigung der Zehnerstelle des vorherigen Zwischenergebnisses aufaddiert. Wieder wird die letzte Ziffer des neuen Zwischenergebnisses als Zehnerstelle des Endergebnisses vermerkt und ein Übertrag gebildet.

Dieser Ablauf wird solange nach links fortschreitend fortgeführt, bis die vorderste Stelle erreicht ist.

 69
193
482

9+3+2=14 ergibt als Einerstelle 4 und als Ãœbertrag 1-.

 1- 
 69
193
482
  4

1+6+9+8=24 ergibt als Zehnerstelle 4 und als Übertrag 2--. Anschließend erzeugt 2+1+4=7 die Hunderterstelle.

2--
 1- 
 69
193
482
744

Geübte Kopfrechner können sich durch Umsortieren und Rechnen mit zweistelligen Unterteilungen viel Rechenzeit sparen. Wer z. B. weiß, dass sich 23+77 und 65+35 jeweils zu 100 ergänzen, wird in der folgenden Rechnung die zweite und dritte Zeile tauschen:

 365
 123 
 235
 277
1000

Summen können auch mittels des Summensymbols Σ, dem großen griechischen Buchstaben Sigma, notiert werden.

Unter das Sigma wird die Zählvariable (in diesem Fall i) geschrieben. Ihr kann ein Startwert (hier: m bzw. 2) durch die Verbindung mit einem Gleichheitszeichen zugewiesen werden. Erfolgt diese Zuweisung nicht, so bedeutet das eine Summe über alle möglichen i. Über dem Sigma steht der Endwert (hier: n bzw. 6). Zwischen dem Startwert und dem Endwert wird die Zählvariable jeweils um Eins erhöht. Zu dem Beispiel:

Bildet man eine Summe aus unendlich vielen Ausdrücken, wird diese unendliche Reihe genannt. Man schreibt dafür als Unter- bzw. Obergrenze das Symbol für minus bzw. plus Unendlich: bzw. .

Der Umgang mit diesem Symbol, sowie einige häufig vorkommende Summen, werden in dem Artikel Summe beschrieben.